仓鼠眼睛睁不开并且出现眼睛突出的情况，可能是由以下几个原因造成的：
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眼部感染或炎症：如结膜炎、角膜炎等，这些炎症会导致眼睛红肿、分泌物增多，严重时可能会使眼睛睁开困难，甚至出现眼睛突出的现象。
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眼内压增高：可能是由于眼内炎症或其它原因导致眼内液体压力增高，使得眼睛向外突出。
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外伤：仓鼠在活动中可能受到撞击或抓伤，造成眼球损伤，导致眼睛突出。
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异物刺激：比如垫料或饲养环境中的粉尘、细小异物进入眼睛，刺激眼睛，引起炎症和突出。
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遗传因素：某些仓鼠品种可能天生眼睛就比较突出，这可能是遗传特征。
针对这种情况的处理方法如下：
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观察并清洁：首先要观察眼睛是否有分泌物或异物，可以使用干净湿润的棉签轻轻清理眼周围的污物。
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消炎治疗：如果确定是由炎症引起的，可以使用专门针对宠物的小儿消炎眼药水或眼药膏，按照说明书的剂量和频率为仓鼠滴眼。
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避免强光：将仓鼠放置在光线柔和的环境中，避免强光直射，减少眼睛的压力。
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更换垫料：使用无尘或低尘的垫料，减少仓鼠生活环境中可能引起眼睛刺激的粉尘。
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饮食调整：如有可能因上火导致的炎症，可以适当调整仓鼠的饮食，增加一些清淡的食物。
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寻求专业帮助：如果以上方法不能缓解症状，或者病情加重，建议及时联系宠物医生，进行专业治疗。
需要注意的是，仓鼠的眼睛是非常脆弱的，因此在处理过程中要特别小心，避免对它们造成二次伤害。