在中国，根据《濒危野生动植物种国际贸易公约》（CITES）以及国家相关法律法规，非洲灰鹦鹉属于受保护的濒危物种。因此，未经相关政府部门许可，私自买卖、饲养非洲灰鹦鹉是违法行为。
从提供的参考信息来看，非洲灰鹦鹉被明确列为不可以家养的物种，因为它不仅是国家保护动物，而且根据法律规定，非法买卖和饲养非洲灰鹦鹉是违法的。具体而言，参考信息[4]、[5]、[6]、[7]和[8]都指出，没有《野生动物驯养繁殖许可证》而饲养非洲灰鹦鹉是不被允许的。
此外，参考信息中提到的“拉锯鹦鹉案”也反映出，即使是人工繁育的濒危鹦鹉，涉及到的交易也可能受到法律的严格限制。案例中，河南南阳的中医邹红喜因买卖和尚鹦鹉而被判有罪，虽然后来因事实不清、证据不足而发回重审，但这一案例也凸显了法律对于濒危物种交易的限制。
因此，如果有人想要家养非洲灰鹦鹉，必须首先向相关部门申请并获得《野生动物驯养繁殖许可证》，否则将面临法律责任。同时，对于无意中发现的野生动物，如参考信息[10]中所述，应报警或报告相关部门，由专业机构进行妥善处理。
综上所述，未经许可家养非洲灰鹦鹉是违法的。